Différentes pistes explorées ces trois dernières années par le groupe
GLU:
• Plan de la démonstration dégagé par le groupe classe puis rédaction de la démonstration en groupe
• Etude d'une démonstration en binôme puis analyse de la structure
• Démonstration faite par les élèves sous forme de vidéos
• Puzzle
• Vrai/Faux
Nouvelles pistes explorées cette année:
• Assistant de preuve (Lycée + Université)
• La classe jigsaw
Premier bilan :
• Le choix a été fait de demander aux élèves de découper les pièces du puzzle et de les remettre dans l'ordre en collant les pièces sur une feuille. Il nous semblait important pour que les élèves s impliquent, de ne pas leur demander de recopier dans l'ordre le texte, tâche qui les rebute. Les élèves pouvaient ainsi étaler devant eux les pièces bouger facilement jusqu'à ce qu'ils soient satisfaits de l'ordre
avant de les coller. Le travail des t,uves était focalisé sur la tâche principale : remettre en ordre la démonstration.
• L'utilisation d'un puzzle permet à chaque élève de s'impliquer dans la première démonstration (démonstration générique) contrairement à une démonstration faite au tableau en cours dialogué où seuls quelques élèves participent à l'élaboration de la démonstration. On peut penser que ce premier exercice a aidé les élèves à proposer une démonstration de la propriété générale.
• C'est aussi un exercice où la différenciation est facile. On peut donner à certains élèves uniquement le puzzle, demander la démonstration de la propriété générale qu'à certains, ne pas donner les mêmes pièces à tous.
• On note que, dans toutes les copies de seconde, la quantification universelle n'apparait pas. La quantification existentielle est fluctuante.
• La réussite à la tâche « puzzle » ne garantie pas la compréhension de l'idée de la démonstration -> importance des prolongements, reformulations, demande d'idée principale...
Un deuxième exemple en terminale
Objectif : Découvrir une démonstration du théorème
Soient a et b deux réels, a non nul.
Les solutions sur R de l'équation différentielle
(E)
y'= ay + b
sont les fonctions x → keax_- oùk E R.
• Classe de spécialité Math ( 27 élèves)
• Contexte:
La démonstration du cas de l'équation y' = ay venait d'être étudié.
Exemple 3 : Le double puzzle
On suppose que n est impair
Soit n un entier naturel.
Puisque n est impair, alors il existe in entier naturel k tel que n = 2k + 1.
On a alors n? = (2k + 1)2 = 4k
+ 1 = 2(2k2 + 2k) + 1.
Puisque n E N, 2k2 + 2k E N
Donc il existe k' = 2k2 + 2k EN tel que n? = 2k' 1.
C'est-à-dire que n? est impair.
Donc n est pair.
On a donc montré que pour tout entier naturel n, si n est impair alors n? est impair.
Montrons que n? est impair.
On suppose que n° est pair
Par contraposée, on a ainsi également montré que pour tout entier naturel n, si n? est pair, alors n est pair.
Raisonnons par l'absurde et supposons que n est impair.
Soit n un entier naturel.
On a ainsi montré que pour tout entier naturel , si n est pair alors n est pair.
Puisque n est impair, alors il existe un entier naturel k tel que n = 2k + 1.
On a alors n? = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1.
Puisque n E N, 2k2 + 2k € N.
Donc il existe k' = 2k2 + 2k EN tel que n? = 2k' + 1.
C'est-à-dire que n? est impair.
Montrons que n est paur.
On a donc une contradiction, puisque par hypothèse n? est pair.
La piste décrite dans l’atelier : les puzzles (il y en a de disponibles dans #Wims) mais 💡avec action méthodique pré et post puzzle. Et ça marche, participation de tous. Et ça permet d’apporter une assistance fine aux élèves en difficulté, et de différencier le niveau des exercices post.